Пусть альфа и бета решение уравнения x^2-x+4=0
Тогда бета/альфа+альфа/бета=?

По теореме Виета:
[tex]\displaystyle \alpha + \beta=-b;[/tex]
[tex]\displaystyle \alpha\beta=c.[/tex]

Разделим первую строчку на вторую:
[tex]\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}=-\frac{b}{c};[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha\beta}+\frac{\beta}{\alpha\beta}=-\frac{b}{c};[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{\beta}+\frac{1}{\alpha}=-\frac{b}{c};[/tex]

Последнее равенство умножим на [tex]\displaystyle \beta[/tex] и отнимем единицу:
[tex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}=-\frac{b}{c}\beta-1;[/tex]

Отдельно то же самое равенство умножим на [tex]\displaystyle \alpha[/tex] и отнимем единицу:
[tex]\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\alpha-1;[/tex]

Сложим последние два равенства:
[tex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\beta-1-\frac{b}{c}\alpha-1;[/tex]

В правой части вынесем [tex]\displaystyle -\frac{b}{c}[/tex] за скобки:
[tex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\left(\alpha+\beta\right)-2;[/tex]

А по уже приведённой теореме Виета, [tex]\displaystyle \alpha+\beta=-b[/tex]:
[tex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\left(-b\right)-2;[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\boxed{\frac{b^2}{c}-2}\phantom{.}.[/tex]

Обратим внимание, что приведённое равенство справедливо для любого квадратного уравнения вида [tex]\displaystyle ax^2+bx+c=0[/tex], где [tex]\displaystyle \alpha[/tex] и [tex]\displaystyle \beta[/tex] — его корни.

Наконец, подставим в полученное равенство значения [tex]\displaystyle a[/tex], [tex]\displaystyle b[/tex] и [tex]\displaystyle c[/tex] из данного уравнения:
[tex]\displaystyle a=1;[/tex]
[tex]\displaystyle b=-1;[/tex]
[tex]\displaystyle c=4;[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{b^2}{c}-2=\frac{\left(-1\right)^2}{4}-2=\frac{1}{4}-\frac{8}{4}=\boxed{-\frac{7}{4}}\phantom{.}.[/tex]

Обратите внимание, однако, что для нахождения величины [tex]\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}[/tex] решать исходное уравнение (находить численные значения [tex]\displaystyle \alpha[/tex] и [tex]\displaystyle \beta[/tex]) не пришлось вовсе, что весьма интересно.