докажите что для всех натуральных n выполняется неравенство n!<=((n+1)/2)^n

Требуется доказать, что для всех натуральных n

[tex]n! \leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^n[/tex]

1) При n=1 неравенство левая и правая части равны: 1=1.
При n=2 неравенство справедливо: 2<2,25.

2) Левая часть [tex]a_n=n![/tex] при переходе от [tex]a_n[/tex] к [tex]a_{n+1}[/tex] увеличивается в (n+1) раз. Докажем, что правая часть [tex]b_n=\left(\frac{n+1}{2}\right)^2[/tex] при переходе от n к (n+1) умножается на большее число, чем на (n+1). Иными словами, будем доказывать, что

[tex]\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}{2}\right)^n}\ \textgreater \ n+1.[/tex]

Упрощая, приводим это неравенство к 

[tex](n+2)^{n+1}\ \textgreater \ 2(n+1)^{n+1}[/tex].

Заменив n+1 на k, получаем неравенство

[tex](k+1)^k\ \textgreater \ 2k^k, [/tex]

причем [tex]k \geq 2.[/tex]

Используя бином Ньютона, получаем

[tex]k^k+k\cdot k^{k-1}+\ldots= k^k+k^k+\ldots=2k^k+\ldots \ \textgreater \ 2k^k.[/tex]

Неравенство доказано.