Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогресси , если сумма всех членов прогресси равна 2 , а сумма квадратов всех членов этой прогресси равна 5.

Для исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии ([tex]b_n[/tex]) имеем по условию: [tex]S=b_1+b_2+b_3+...=\dfrac{b_1}{1-q}=2[/tex], где q - знаменатель исходной прогрессии.
Теперь рассмотрим прогрессию ([tex]c_n[/tex]), составленную из квадратов членов исходной прогрессии, т.е. [tex]c_1=(b_1)^2,\ c_2=(b_2)^2,\ c_3=(b_3)^2,\ ...[/tex]. Эта новая прогрессия - также геометрическая бесконечно убывающая. Следовательно,[tex]\tilde{S}=c_1+c_2+c_3+...=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=5[/tex], где [tex]\tilde{q}[/tex] - знаменатель уже новой прогрессии.
[tex]\tilde{q}=\frac{(b_2)^2}{(b_1)^2}=(\frac{b_2}{b_1})^2=q^2[/tex]
Преобразуем:
[tex]\tilde{S}=5=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=\dfrac{(b_1)^2}{1-q^2}}[/tex]
Получим систему уравнений: [tex]\begin{cases} \frac{b_1}{1-q}=2 \\ \frac{(b_1)^2}{1-q^2}=5 \end{cases}[/tex]
Делим первое на второе и запишем в первой строке системы:
[tex]\begin{cases} \frac{b_1(1-q)(1+q)}{(1-q)(b_1)^2}= \frac{2}{5} \\ b_1=2-2q \end{cases} [/tex] <=> [tex]\begin{cases} \frac{1+q}{b_1}= \frac{2}{5} \\ b_1=2-2q \end{cases}[/tex]
[tex]\frac{1+q}{2-2q}= \frac{2}{5} \\ 5+5q=4-4q \\ 9q=- 1 \\ q=- \frac{1}{9} [/tex]
Ответ: [tex]- \frac{1}{9} [/tex]