Исследуйте функции:
1) f (x)=-x^2*(x-2)^2
2) f (x)=(x^2-8x)/(x+1)
3) f (x)=(2x-1)^6*(x+1)^5
4) f (x)=(x-2)^2*sqrt (x)
5) f (x)=sin2x-x
Решите, пожалуйста.

План действий такой:
1) ищем производную
2) приравниваем её к нулю и решаем уранвение ( ищем критические точки)
3) смотрим, какие корни попали попали в указанный промежуток и ищем значения функции в этих точках и на концах промежутка.
4) пишем ответ
Поехали?
1) f'(x) = 8 - 2x
2) 8 - 2x = 0
   2x = 8
   x = 4
3) x = 4
f(4) = 1 +32 - 16 = 17
     x = 2
f(2) = 1  +16 - 4 = 13
     x = 5
f(5) = 1 + 40 - 25 = 16
4) Ответ: max f(x) = f(4) = 17
                [2;5]  

1) f(x) = -x²*(x-2)²
f'(x) = -2x*(x-2)²-x²*2*(x-2) = -2x*(x²-4x+4)-2x³+4x² = -2x³+8x²-8x-2x³+4x² = -4x³+12x²-8x
f'(x) = 0, при -4x³+12x²-8x = 0
-4x(x²-3x+2) = 0
x1 = 0
или
х²-3х+2 = 0
х2 = 1
х3 = 2

Рассмотрим 4 промежутка (-∞; 0), (0;1), (1;2) и (2; +∞)

в промежутке (-∞;0) f'(x) > 0 => f(x) ↑
в промежутке (0;1) f'(x) < 0 => f(x) ↓
в промежутке (1;2) f'(x) > 0 => f(x) ↑
в промежутке (2;+∞) f'(x) < 0 => f(x) ↓

в местах, где меняется стрелка - находится точка экстремума
с ↑ на ↓ - точка максимума
с ↓ на ↑ - точка минимума

Экстремумы:
х=0 - максимум
х=1 - минимум
х=2 - максимум