В прямоугольном треугольнике один их катетов равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите сторону квадрата равновеликого этому треугольнику.

Пусть один катет = 15 и его проекция на гипотенузу=х.
Так как проекция второго катета =16, то сама гипотенуза = (16+х), и по следствию из  теоремы Пифагора 15²=х(16+х)

[tex]225=16x+x^2\\\\x^2+16x-225=0\\\\x_1=-25,\; x_2=9[/tex]

Проекция первого катета = 9, гипотенуза =16+9=25.
Второй катет равен [tex]\sqrt{25^2-15^2}Ї=\sqrt{400}=20[/tex] .
Площадь треугольника равна [tex]S_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 15=150[/tex]

Квадрат с такой же площадью имеет сторону, равную

[tex]a=\sqrt{150}[/tex] .

AB²=BC²+AC²
BC²=HB·AB=16AB ( HB высота опущенная на гипотенузу )
AB²=225+16AB
AB²-16AB-225=0
D=34
x1=(16+34)/2=25
S=1/2·AC·AB=150
Равновеликие ⇒ Площади равны.
S=a²
150=a²
a=5√6