Задача.1
Из деревни А в деревню В одновременно вышли два друга.Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью.Второй друг первую половину пути шел со скоростью,на 15 м/мин. меньшей скорости первого друга,а вторую половину-со скоростью 50 м/мин..В итоге в пункте назначения оказались одновременно.Найдите скорость первого друга.Ответ запишите в м/мин..
Помогите пожалуйста решить эту задачу!Задали на каникулы:(

Поскольку они вышли одновременно и пришли одновременно, время пути для обоих друзей будет одинаковым ([tex]t[/tex]). Расстояние (общее) тоже одинаково для обоих ([tex]s[/tex]). Разная только скорость.

Обозначим скорость первого друга (то, что нам надо найти) [tex]v_{1}[/tex].
Скорость второго на первой половине пути обозначим [tex]v_{2a}[/tex],
а на второй первой половине пути — [tex]v_{2b}[/tex]. Из условия мы знаем, что [tex]v_{2a}=v_{1}-15[/tex], a [tex]v_{2b}=50[/tex].

Сколько времени шёл первый чувак? Выразим через путь ([tex]s[/tex]) и его скорость. Тут всё просто: [tex]t= \frac{s}{v_{1}} [/tex].

А второй-то шёл полпути с одной скоростью, а остальные полпути — с другой. Поэтому мы не знаем, какое время он потратил на каждую половину пути. Ну давай выразим и это время через путь и скорость, только отдельно для каждой половины пути.
Время второго друга на первой половине пути — это половина пути [tex]\frac{s}{2}[/tex], делённая на скорость [tex]v_{2a}[/tex]: [tex]\frac{s}{2v_{2a}}[/tex]
Время второго друга на второй половине пути — это половина пути [tex]\frac{s}{2}[/tex], делённая на скорость [tex]v_{2b}[/tex]: [tex]\frac{s}{2v_{2b}}[/tex]

Теперь, если мы сложим эти два времени, то получим общее время (которое одинаково с временем первого друга):

[tex]t=\frac{s}{2v_{2a}}+\frac{s}{2v_{2b}}=s(\frac{1}{2v_{2a}}+\frac{1}{2v_{2b}})[/tex]

(Мы заодно там вытащили за скобки путь [tex]s[/tex], чтобы потом нам от него было легче избавиться).

Теперь подставим значения скоростей второго чувака из условия:
[tex]t=s(\frac{1}{2(v_{1}-15)}+\frac{1}{100})[/tex]

А вместо [tex]t[/tex] напишем это же время, как мы его раньше выразили через скорость первого чувака:

[tex]\frac{s}{v_{1}} =s(\frac{1}{2(v_{1}-15)}+\frac{1}{100})[/tex]

Мы избавились от неизвестного (и ненужного нам) времени [tex]t[/tex]. Теперь избавимся от [tex]s[/tex], ведь мы и его не знаем. Поделим обе части уравнения на [tex]s[/tex], и останется:

[tex]\frac{1}{v_{1}} =\frac{1}{2(v_{1}-15)}+\frac{1}{100}[/tex]

Теперь надо только вытащить из уравнения [tex]v_{1}[/tex], и задача решена.
Я сейчас попробую решить — дайте знать, если ошибся где-то:

[tex]\frac{1}{v_{1}} =\frac{100+2(v_{1}-15)}{200(v_{1}-15)} \\ \\ \frac{1}{v_{1}} =\frac{v_{1}+35}{100(v_{1}-15)}[/tex]

[tex]v_{1}(v_{1}+35)=100v_{1}-1500[/tex]

[tex](v_{1})^{2}-65v_{1}+1500=0[/tex]