Решите уравнение [tex]xy+x-y=2[/tex] в целых числах (диофантово уравнение).

Найти все [tex]\displaystyle \{x,y\}[/tex] такие, что [tex]\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}[/tex] и [tex]\displaystyle xy+x-y=2[/tex].

Решим [tex]\displaystyle xy+x-y=2[/tex] для [tex]\displaystyle x[/tex].
Прибавим [tex]\displaystyle y[/tex] к обеим частям уравнения:
[tex]\displaystyle xy+x=y+2;[/tex]
Вынесем [tex]\displaystyle x[/tex] за скобки в левой части уравнения:
[tex]\displaystyle x(y+1)=y+2;[/tex]
Рассмотрим случай, когда [tex]\displaystyle y\neq{-1}[/tex], и разделим обе части уравнения на [tex]\displaystyle y+1[/tex]:
[tex]\displaystyle x=\frac{y+2}{y+1};[/tex]
Запишем член [tex]\displaystyle 2[/tex] в числителе в правой части уравнения как [tex]\displaystyle 1+1[/tex]:
[tex]\displaystyle x=\frac{y+1+1}{y+1};[/tex]
Разобём дробь в правой части уравнения на сумму дробей:
[tex]\displaystyle x=\frac{y+1}{y+1}+\frac{1}{y+1};[/tex]
Упростим:
[tex]\displaystyle x=1+\frac{1}{y+1}.[/tex]

Заметим, что [tex]\displaystyle x[/tex] является целым тогда и только тогда, когда член [tex]\displaystyle\frac{1}{y+1}[/tex] в правой части уравнения является целым.

Член [tex]\displaystyle\frac{1}{y+1}[/tex] является целым тогда и только тогда, когда знаменатель противоположен или является делителем числителя.

Числитель [tex]\displaystyle 1[/tex] имеет ровно один делитель: [tex]\displaystyle 1[/tex]. Получаем:
[tex]\displaystyle y+1=1 \lor y+1=-1[/tex].
Решим для [tex]\displaystyle y[/tex].
Прибавим [tex]\displaystyle -1[/tex] к обеим частям уравнений:
[tex]\displaystyle y=0 \lor y=-2[/tex].

Подставим в исходное уравнение, решённое для [tex]\displaystyle x[/tex]:
[tex]\displaystyle x=1+\frac{1}{0+1}=2 \lor x=1+\frac{1}{-2+1}=0.[/tex]

Проверим, есть ли решения при исключённом случае [tex]\displaystyle y=-1[/tex], подставив в исходное уравнение [tex]\displaystyle y=-1[/tex]:
[tex]\displaystyle x\times(-1)+x-(-1)=2;[/tex]
[tex]\displaystyle -x+x+1=2;[/tex]
[tex]\displaystyle 1=2[/tex], следовательно, при [tex]\displaystyle y=-1[/tex] решений нет.

[tex]\displaystyle\boxed{x=0 \land y=-2 \lor x=2 \land y=0}\phantom{.}.[/tex]