Из нескольких одинаковых кубиков Вася сложил большой куб и покрасил его грани. Оказалось, что число кубиков с одной покрашенной гранью равно числу кубиков, у которых покрашенных граней нет (и при этом не равно 0). Сколько маленьких кубиков использовал Вася?

Пусть длина большого куба равна длине k маленьких кубиков.
Тогда общее число кубиков
[tex]N=k^3[/tex] (1)
кубиков крашенных с одной стороны на одной грани (k-2)*(k-2)
на 6ти гранях общее число крашеных с одной стороны кубиков
[tex]N_1=6(k-2)(k-2)[/tex]  (2)
Количество некрашеных кубиков будет
[tex]N_0=(k-2)^3[/tex]  (3)
По условию N₀=N₁ Т.е.
[tex]6(k-2)(k-2)=(k-2)^3[/tex] (4)
Теперь осталось решить (4) относительно k
[tex]6(k-2)(k-2)=(k-2)^3 \newline 6(k^2-4k+4)=(k-2)(k^2-4k+4) \newline 6k^2-24k+24=k^3-4k^2+4k-2k^2+8k-8 \newline 6k^2-24k+24=k^3-6k^2+12k-8 \newline k^3-12k^2+36k-32=0[/tex]
ОДНАКО!, если не напутали , получили полное кубическое уравнение
[tex] k^3-12k^2+36k-32=0[/tex] (5)
Ну и оно решается, правда по более хитрым формулам
Приводим его к "каноническому" виду. Для этого делаем подстановку.
(вводим новую переменную х)
Rem Любое кубическое уравнение вида
[tex]ax^3+bx^2+cx+d=0[/tex]
можно привести к виду
[tex]y^3+py+q=0[/tex]
где y- новая переменная
[tex]y=x- \frac{b}{3a} [/tex]
p,q:
[tex]p= \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} [/tex]
[tex]q= \frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} [/tex]

У нас
[tex]k=x+ \frac{12}{3} =x+4[/tex] (6)
[tex]p= \frac{36}{1} - \frac{12^2}{3} =36-48=-12[/tex]
[tex]q= \frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}= \newline \newline = \frac{2(-12)^3-9\cdot 1 \cdot (-12)\cdot36+27 \cdot (-32)}{27}= \frac{-432}{27} =-16[/tex]
Получаем уравнение
[tex]x^3-12x-16=0[/tex]    (7)
Определим аналог дискриминанта Q
[tex]Q=( \frac{p}{3} )^3+( \frac{q}{2} )^2[/tex]
[tex]Q=( \frac{p}{3} )^3+( \frac{q}{2} )^2=Q=( \frac{-12}{3} )^3+( \frac{-16}{2} )^2=(-4)^3+(-8)^2=-64+64=0[/tex]

[tex]x_1= \alpha + \beta \newline x_2=- \frac{ \alpha + \beta }{2} \pm j \frac{ \alpha - \beta }{2} \cdot \sqrt {3}[/tex]
j  - мнимая единица

[tex] \alpha = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{Q} } \newline \newline \beta = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{Q} } [/tex]
[tex]\alpha = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{Q} } =\sqrt[3]{ \frac{16}{2} + \sqrt{0} }= \sqrt[3]{ 8}=2 \newline \newline \beta = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{Q} }=\sqrt[3]{ \frac{16}{2} - \sqrt{0}}=\sqrt[3]{ 8}=2[/tex]

[tex]x_1= 2+2 =4 \newline x_2=- \frac{2+2}{2} +j0=-2[/tex]  (8)
Два корня для канонического уравнения (7)
Возвращаемся к нашей переменной k
k=x+4
[tex]k_1=4+4=8 \newline k_2=-2+4=2[/tex]  (9),
что соответствует общему числу кубиков
[tex]N=k_1^3=8^3=512 \newline N=k_2^3=2^3=8[/tex] (10)
Проверяем выполнение условий формулы громоздкие, могли и хомутнуть
для k₁
[tex]6(k_1-2)^2=6(8-2)^2=6 \cdot 36=216 \newline (k_1-2)^3=6^3=216 [/tex]  ок
для k₂ =2 получаем N₀=0, N₁=0
 
Тогда остается один ответ
ОТВЕТ: 512 кубиков