Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину гипотенузы.

Ответ:

[tex]S = \frac{1}{2} ab = 32 \sqrt{3} \\ [/tex]

Нужно найти: с (гипотенузу)

[tex]ab= 32 \sqrt{3} \times 2 = 64 \sqrt{3} \\ a = \frac{64 \sqrt{3} }{b} [/tex]

Пусть а = АВ,

тогда

[tex] \cos(60°) = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{c} \\ \\ \frac{1}{2} = \frac{a}{c} \\ c = 2a[/tex]

[tex]c = 2 \times \frac{64 \sqrt{3} }{b} \\ [/tex]

решим системой(первая строка - по т. Пифагора):

[tex] c = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } \\ c = \frac{2}{b} \times 64 \sqrt{3} \\ \\ c = \sqrt{ \frac{ {(64 \sqrt{3} )}^{2} }{ {b}^{2} } + {b}^{2} } \\ c = \frac{128 \sqrt{3} }{b} \\ \\ \frac{128 \sqrt{3} }{b} = \sqrt{ { (\frac{64 \sqrt{3} }{b} )}^{2} + {b}^{2} } \\ \frac{ {128}^{2} \times 3 }{ {b}^{2} } = \frac{ {64}^{2} \times 3 }{ {b}^{2} } + {b}^{2} \\ {128}^{2} \times 3 = {64}^{2} \times 3 + {b}^{4} \\ {b}^{4} = {128}^{2} \times 3 - {64}^{2} \times 3 \\ {b}^{4} = 3( {128}^{2} - {64}^{2} ) = 3(128 - 64)(128 + 64) = \\ = 3 \times 64 \times 192 \\ b = \sqrt[4]{3 \times 64 \times 192} = 8 \sqrt{3} \\ \\ c = \frac{2}{8 \sqrt{3} } \times 64 \sqrt{3} = \frac{64}{4} = 4[/tex]

Ответ: 4