3tg(x/2) + ctgx=5/sinx

tg (x/2) + ctg x = sin (x/2)/ cos (x/2) + cos x / sin x =
 = (sin (x/2)·sin x + cos x·cos (x/2)) / (cos (x/2)·sin x ) =
= cos (x - x/2) / (cos (x/2)·sin x ) =
= cos (x/2) / (cos (x/2)·sin x )  = 1 / sin x 

2tg (x/2) + 1 / sin x  = 5 / sin x
2tg (x/2) = 5 / sin x - 1 / sin x 
2tg (x/2) = 4/ sin x
tg (x/2) = 2/ sin x

tg (x/2) =√((1 - cos x) / (1 + cos x)) = (1 - cos x)/ sin x

(1 - cos x)/ sin x = 2/ sin x
(1 - cos x - 2)/ sin x = 0
(cos x + 1)/ sin x = 0
cos x = -1 при этом sin x≠0
Получается, нет корней