Число N равно произведению 200 простых чисел (не обязательно различных). Если каждый множитель в этом представлении увеличить на единицу, то полученное произведение будет делиться на N . Сколько таких натуральных N существует? (Решение!)

 Запишем условие [tex]N=x_{1}x_{2}x_{3}*...*x_{200}\\ N_{1}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)(x_{3}+1)*...(x_{200}+1)\\[/tex]
где   [tex]x_{1};x_{2};x_{3}...x_{200}[/tex] - простые числа  
По условия [tex]\frac{N_{1}}{N} \in C[/tex] целое .  
Если все числа [tex]x_{1};x_{2}...[/tex] будут действительно различные, то из выражения 
[tex]\frac{N_{1}}{N}= (1+\frac{1}{x_{1}})(1+\frac{1}{x_{2}})(1+\frac{1}{x_{3}})*...(1+\frac{1}{x_{200}})[/tex] с учетом того что данные числа простые, как минимум среди них  будет множитель [tex]2^{200}[/tex],потому что [tex]x_{1}+1;x_{2}+1...;x_{200}+1[/tex] уже четные числа. Запишем как  [tex]2^{200}*(\frac{a_{1}}{x_{1}})*(\frac{a_{2}}{x_{2}})*(\frac{a_{3}}{x_{3}})*...* (\frac{a_{200}}{x_{200}})[/tex] так как [tex]a_{n}<x_{n}[/tex] 
То следует что, числа в каждой дроби будут взаимно простые между собой.  
То есть не дадут целое числа в итоге, теперь рассмотрим случаи когда числа равные между собой, то есть предположим что среди них есть числа равные между собой . 
для начало положим что [tex]N=2^a*3^b*5^c[/tex]
[tex]a+b+c=200[/tex] 
откуда получаем , после преобразований 
[tex]3^{200-2b}*2^{b-2a+200}*5^{a+b-200} [/tex] 
так как числа все простые , то есть не одно число не делится на другой без остатка , то 
 [tex]200-2b>0\\ b-2a+200>0\\ a+b-200>0[/tex]
откуда с последнего  неравенства, решения будут при целых [tex]a+b=201[/tex] то есть все числа должны давать в сумме [tex]201[/tex] , но тогда [tex]c<0[/tex] что не противоречит условию
Теперь увеличим наше число до [tex]4[/tex] простых числа 
 [tex]2^a*3^b*5^c*13^d\\ a+b+c+d=200\\ [/tex]
так же после всех преобразований получаем 
[tex] c<0\\ -2a+b+200>0\\a-b+c>0\\-a-b-c+200>0\\a+b+c-200>0[/tex]
 но отсюда так же следует что [tex]a+b+c>200[/tex] что противоречит [tex]d>0[/tex] 
И теперь очевидно  для [tex]n[/tex] взятого простого числа так же будет справедлива это тождество.

Теперь рассмотрим случай [tex] N=2^a*3^b\\ N_{1}=3^a*2^{2b}\\ \frac{N_{1}}{N} = \frac{3^a*2^{2b}}{2^a*3^b} = 3^{a-b}*2^{2b-a}\\ a+b=200\\ 3^{200-2b}*2^{3b-200}\\ 200-2b>0\\ 3b-200>0\\\\ b<100\\ b>\frac{200}{3}[/tex]
откуда   [tex][ \frac{200}{3} ]= 66\\ 100-66=33[/tex] решения 
Ответ [tex]33[/tex] 

И это все является решением для 6-классника, так как использованы обычные работы со степенями и неравенствами