Найдите минимум функции f(x,y,z,t)=(x-y)^2+(z-t)^2 при условии
(x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2+(t-4)^2=1.
Выберите верный ответ.
1)5-2√6
2)5+2√6
3)12+4√5
4)2-4√5

Посмотрим на задачу с точки зрения геометрии. Пусть есть точки A = (2, 1), B = (3, 4), L = (x, z) и M = (y, t). Тогда [tex](x - 2)^2 + (z - 1)^2[/tex] – квадрат длины отрезка AL, [tex](y - 3)^2 + (t - 4)^2[/tex] – квадрат длины отрезка BM, [tex](x - y) + (z - t)^2[/tex] – квадрат длины отрезка LM.

Заметим, что [tex]AB = \sqrt{(3 - 2)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{10}[/tex]. Поскольку по условию [tex]AL^2 + BM^2 = 1[/tex], то AL, BM < 1, и минимальное значение LM (а значит, и [tex]LM^2[/tex]) будет достигаться тогда, когда L и M лежат на отрезке AB.

Обозначим AL = u, тогда [tex]BM = \sqrt{1 - u^2}[/tex], AL + BM = v.
[tex]LM = \sqrt{10} - v[/tex] будет минимально, когда v (и [tex]v^2[/tex]) будет максимально.

[tex]v^2 = (u + \sqrt{1 - u^2})^2 = 1 + 2\sqrt{u^2(1-u^2)}[/tex]
Под корнем стоит квадратный трёхчлен относительно [tex]u^2[/tex], его максимум достигается в вершине, когда [tex]u^2=1/2[/tex], при этом [tex]v^2[/tex] достигает максимального значения 2, поэтому максимальное значение v равно [tex]\sqrt2[/tex]

Тогда минимальное значение [tex]LM^2[/tex] равно:
[tex]LM^2=(\sqrt{10}-\sqrt2)^2=10-2\sqrt{10\cdot2}+2=12-4\sqrt5[/tex]