Решите уравнение 1+2cosx=sin2x+2sinx

[tex]\displaystyle 1+2cosx=sin2x+2sinx[/tex]

[tex]\displaystyle cos^2x+sin^2x+2cosx-2sinxcosx-2sinx=0[/tex]

[tex]\displaystyle (cos^2x-2sinxcosx+sin^2x)+2(cosx-sinx)=0[/tex]

[tex]\displaystyle (cosx-sinx)^2+2(cosx-sinx)=0[/tex]

[tex](cosx-sinx)(cosx-sinx+2)=0[/tex]

[tex]\displaystyle \left[\begin{array}{l} cosx-sinx=0, \\ cosx-sinx=-2. \end{array}\right. [/tex]

[tex]\displaystyle cosx=sinx [/tex]
однородное уравнение первой степени. Разделим на cosx

[tex]\displaystyle 1=tgx [/tex]

[tex]\displaystyle x= \frac{ \pi }{4}+ \pi n; n\in Z [/tex]

[tex]\displaystyle cosx-sinx=-2[/tex]
это возможно только при cosx=-1 и sinx=1, но это функции одного угла 
поэтому одновременно это условие выполняться не может
корней уравнение не имеет

Ответ х=π/4+πn; n∈Z