Дана функция f(x)=2x^3-3x^2+2 найдите а)промежутки возрастания и убывания функции б)наибольшее значение функции на отрезке [-1;1]

Пошаговое объяснение:

[tex]f(x)= 2x^{3} -3x^{2} +2;\\D(f)= R.[/tex]

Найдем производную функции:

[tex]f'(x)= 2*3x^{2} -3*2x=6x^{2} -6x.[/tex]

Найдем критические точки, решив уравнение

[tex]f'(x)=0.\\6x^{2} -6x=0;\\6x(x-1)=0;\\[/tex]

x=0 или  x=1.

Критические точки разбивают числовую прямую на три промежутка. Определим знак производной на каждом промежутке.

f'(x)>0 при  x∈( -∞;0) ∪ (1;+∞) .

Значит функция возрастает на ( -∞;0] и на [1;+∞).

f'(x)< 0 при  x∈ (0; 1 )

Тогда функция убывает на [ 0; 1 ].

б) найдем наибольшее и наименьшее значения функции.

Критические точки 0 и 1 принадлежат заданному отрезку, поэтому найдем значения функции в  точках  -1, 0,1

[tex]f( -1) = 2*(-1)^{3} -3*(-1)^{2} +2= -2-3+2=-3;\\f(0)= 2;\\f(1)= 2*1^{3} - 3*1^{2} +2= 2-3+2=1.[/tex]

Y наиб. =  2 и  Yнаим.= -1.