Анонимно

Найти решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным условиям: y'' + 4y = e^(-t) y(0)=0; y'(0)=0

Ответ

Анонимно

Ответ:

y(e) = C1*sin(2*e) + C2*cos(2*e)

Ответ

Анонимно

Ответ:

1) ОЛДУ:

[tex]y ''+ 4y = 0 \\ y = {e}^{kt} \\ {k}^{2} + 4 = 0 \\ {k}^{2} = - 4 \\ k1 = 2i \\ k2 = - 2i \\ y = C1 \sin(2t) + C2 \cos(2t) [/tex]

2) у с неопределенными коэффициентми:

[tex]y = A{e}^{ - t} \\ y' = -A {e}^{ - t} \\ y ''=A {e}^{ - t} [/tex]

подставляем в НЛДУ:

[tex]A {e}^{ - t} + 4A {e}^{ - t} = {e}^{ - t} \\ 5A = 1 \\ A = \frac{1}{5} [/tex]

[tex]y = \frac{1}{5} {e}^{ - t} \\ [/tex]

[tex]y = C1 \sin(2t) + C2 \cos(2t) + \frac{1}{5} {e}^{ - t} \\ [/tex]

общее решение

[tex]y(0) = 0, y'(0) = 0[/tex]

[tex]y '= 2C1 \cos(2t) - 2C 2\sin(2t) - \frac{1}{5} {e}^{ - t} \\ [/tex]

система:

[tex]0 = 0 + C2 + \frac{1}{5} \\ 0 = 2C1 - \frac{1}{5} \\ \\ C 2 = - \frac{1}{5} \\ C = \frac{1}{10} [/tex]

[tex]y = \frac{1}{10} \sin(2t) - \frac{1}{5} \cos(2t) + \frac{1}{5} {e}^{ - t} = \\ = \frac{1}{5} ( \frac{1}{2} \sin(2t) - \cos(2t) + {e}^{ - t} )[/tex]

частное решение