Неприрывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей f(x)=2/π*cos^2 x в интервале (-π/2; π/2); вне этого интерва f(x)=0. Найти вероятность того, что в 3х независимых испытаниях н. сл. величины X примет ровно два раза значение, принадлежащее интервалу (0, π/4).

[tex]P(0\ \textless \ X\ \textless \ \frac{ \pi }{4} )= \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {f(x)} \, dx = { \frac{2}{ \pi } \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 Cos^{2}x} \, dx ={ \frac{2}{ \pi } \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 \frac{Cos2x+1}{2} } \, dx =[/tex] [tex]\frac{1}{ \pi } ( \frac{1}{2}Sin 2x+x)|_{0}^{ \frac{ \pi }{4} }= \frac{1}{ \pi } [( \frac{1}{2} Sin \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{4} )-(Sin0+0)]=\frac{1}{ \pi } ( \frac{1}{2} +\frac{ \pi }{4})=[/tex][tex]\frac{1}{2 \pi } + \frac{1}{4} [/tex]
[tex]P_{3}(2)=C_{3}^{2}p ^{2} q[/tex]
[tex]C_{3}^{2}= \frac{3!}{1!*2!} = \frac{1*2*3}{1*1*2} =3[/tex]
[tex]p=\frac{1}{2 \pi } + \frac{1}{4} \\ q=1-p=1-(\frac{1}{2 \pi } + \frac{1}{4})=(\frac{3}{4}-\frac{1}{2 \pi })[/tex]
[tex]P_{3}(2)=3(\frac{1}{2 \pi } + \frac{1}{4} )^{2}(\frac{3}{4}-\frac{1}{2 \pi })[/tex]