Катеты прямоугольного треугольника. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20 см.Из вершины прямого угла проведена биссектриса.На какие отрезки разделилась гипотенуза?

Есть теорема о биссектрисе. Воспользуемся её доказательством для решения задачи.
ABC - прямоугольный треугольник, AC = 15 см, BC = 20 см. CD - биссектриса.
Через вершину B проведём отрезок, параллельный биссектрисе CD, и продолжим сторону AC до пересечения данного отрезка в точке E (см. рис.).
[tex]\angle DCB=\angle CBE=45^o[/tex] как накрест лежащие при параллельных CD и BE и секущей BC.
[tex]\angle BEC=\angle ACD=45^o[/tex] как соответственные при параллельных CD и BE и секущей AE.
Следовательно, треугольник BCE равнобедренный, BC = CE = 20 см.
По теореме Фалеса
[tex]\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{CE}\Rightarrow\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{CE}=\frac{15}{20}=\frac34[/tex]
Гипотенуза делится на 7 частей, из них 3 части - отрезок AD, 4 части - отрезок BD.
Из треугольника ABC по т.Пифагора найдём длину гипотенузы AB
[tex]AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25[/tex] см.
[tex]AD=\frac37\cdot25=\frac{75}7=10\frac57[/tex] см.
[tex]BD=\frac47\cdot25=\frac{100}7=14\frac27[/tex] см.