В равнобедренном треугольнике АВС проведено высоту ВК. Н высоте взята точка О так, что точка Р делит сторону ВС в отношении ВР:РС=1 : 2. Доказать, что О - середина ВК.

Проведем из точки К отрезок КЕ параллельный АР до пересечения со стороной ВС.
Треугольники АРС и КЕС подобны по двум углам, т.к. угол А общий, <CKE=<CAP как соответственные углы при параллельных прямых АР и КЕ и секущей АС.
Поскольку в равнобедренном треугольнике АВС высота ВК является его медианой, то АК=СК и СК=(1/2)*АС.
Как следствие, коэффициент подобия треугольников СКЕ и САР равен 1/2.
Поэтому СЕ=(1/2)*СР, СЕ=РЕ.
С учетом того, что ВР/РС=1/2, СЕ=РЕ=ВР.
Треугольники ВКЕ и ВОР подобны по двум углам: угол КВЕ общий, <BOP=<BKE как соответственные углы при параллельных прямых ОР и КЕ и секущей АК.
Коэффициент подобия этих треугольников 1/2, т.к. ВР=РЕ, ВР=(1/2)*ВЕ.
Из подобия треугольников следует, что ВО=(1/2)*ВК, что и требовалось доказать.