Математическая индукция.
Доказать что 1^2 + 3^2 + 5^2 + .... +(2n-1)^2=1/3n*(4n^2-1)

Проверим, что равенство верно для N=1

[tex]1^2=\frac{1*(4*1^2-1)}{3}=\frac{1*(4-1)}{3}=\frac{3}{3}[/tex]

Предположим, что равенство верно для некоторого N
тогда для N+1 получим
[tex]1^2+...+(2n+1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}+\frac{3(2n+1)^2}{3}=\\ =\frac{4n^3-n+12n^2+12n+3}{3}=\frac{4n^3+12n^2+11n+3}{3}=\\ =\frac{4n^3+4n^2+8n^2+8n+3n+3}{3}=\frac{(n+1)(4n^2+8n+3)}{3}=\\ =\frac{(n+1)(4(n+1)^2-1)}{3}[/tex]

Как говорится... ЧТД...

.......................,.............