Вычислить определенный интеграл (-1;1) х^3cosПx/4dx

[tex] \int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx [/tex]
Будем интегрировать по частям:
[tex] \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df [/tex], где:
[tex]f=x^3\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=3x^2dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi [/tex]
Тогда:
[tex]\int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1-12/\pi \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx[/tex]
Для интеграла [tex]\int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx[/tex] используем также метод интегрирования по частям:
[tex] \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df [/tex], где:
[tex]f=x^2\\dg=sin( \pi x/4)dx\\df=2xdx\\g=-4cos( \pi x/4)/ \pi [/tex]
Тогда:
[tex]4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1-12/\pi \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-96/ \pi ^2 \int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx [/tex]
Для интеграла [tex]\int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx [/tex] используем также метод интегрирования по частям:
[tex] \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df [/tex], где:
[tex]f=x\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi [/tex]
Тогда:
[tex]4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-96/ \pi ^2 \int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+\\+384/ \pi ^3 \int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx [/tex]
Для интеграла [tex]\int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx [/tex] воспользуемся заменой переменой: 
[tex]u=sin( \pi x/4)\\du= \pi dx /4[/tex]
Тогда:
[tex]4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+384/ \pi ^3 \int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx=[/tex][tex]=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+1536/ \pi ^4 \int\limits^1_{-1} {sin(u)} \, du=[/tex][tex]=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}-1536cos(u)/ \pi ^4|^{\pi/4}_{-\pi/4}=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-[/tex][tex]-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}-1536cos(\pi x/4)/ \pi ^4|^{1}_{-1}=\\=4(\pi x(\pi ^2x^2-96)sin(\pi x/4)+12(\pi ^2x^2-32)cos(\pi x/4))/\pi ^4|^1_{-1}=[/tex][tex]=4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4-\\-4(-\pi (\pi ^2-96)sin(-\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(-\pi /4))/\pi ^4=\\=4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4-[/tex][tex]-4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4=0[/tex]
Ответ:
[tex] \int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx =0[/tex]