1. xy' + y + xe^(-x^(2)) = 0
2. (x + 2y)dx + 2xdy = 0
3. y = y' ln y
4. y" + 4y' + 4y = 0
5. y" + 10y' + 34y = -9e^(-5x)
6. y" + 4y = 3cosx

[tex]1) xy'+y+xe^{-x^2}=0[/tex]
Вычтем [tex]e^{-x^2}x[/tex] с обеих сторон и разделим на [tex]x[/tex]:
[tex]y'+ \frac{y}{x}= -e^{-x^2}[/tex]
Допустим, μ=[tex]e^{ \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx }=x[/tex]
Умножим обе части уравнения на μ:
[tex]xy'+y=-e^{-x^2}x[/tex]
Замена: [tex]1=x'[/tex]:
[tex]xy'+x'y=-e^{-x^2}x[/tex]
[tex](xy)'=-e^{-x^2}x[/tex]
[tex] \int\limits {(xy)'} \, dx = \int\limits {-e^{-x^2}x} \, dx [/tex]
[tex]xy= \frac{e^{-x^2}}{2}+C [/tex]
[tex]y= \frac{ \frac{e^{-x^2}}{2}+C }{x} [/tex]

[tex]2) (x+2y)dx+2xdy=0[/tex]
[tex]2y+2xy'+x=0[/tex]
[tex]y'+ \frac{y}{x} =- \frac{1}{2} [/tex]
Допустим, μ=[tex]e^{ \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx }=x[/tex]
[tex]xy'+y=- \frac{x}{2} [/tex]
Замена: [tex]1=x'[/tex]
[tex]xy'+x'y=- \frac{x}{2} [/tex]
[tex](xy)'=- \frac{x}{2} [/tex]
[tex] \int\limits {(xy)'} \, dx = \int\limits {- \frac{x}{2} } \, dx [/tex]
[tex]xy=- \frac{x^2}{4} +C[/tex]
[tex]y=- \frac{x}{4} + \frac{C}{x} [/tex]

[tex]3) y=y'ln y[/tex]
[tex]y'= \frac{y}{lny} [/tex]
[tex] \frac{ln(y)y'}{y} =1[/tex]
[tex] \int\limits { \frac{ln(y)y'}{y} } \, dx = \int\limits {} \, dx [/tex]
[tex] \frac{1}{2} ln^2(y)=x+C[/tex]
[tex]y_1=e^{- \sqrt{2} \sqrt{x+C} }[/tex]
[tex]y_2=e^{ \sqrt{2} \sqrt{x+C} }[/tex]

[tex]4) y''+4y'+4y=0[/tex];
Решим, как однородное линейное уравнение:
Допустим, решение будет решение будет пропорционально e^(λx) для некоторой константы λ.
Заменим y=e^(λx) в дифференциальное уравнение:
(e^(λx))''+4(e^(λx))'+4e^(λx)=0;
Заменим (e^(λx))''=λ²e^(λx)   и (e^(λx))'=λe^(λx):
λ²e^(λx)+4λe^(λx)+4e^(λx)=0;
(λ²+4λ+4)e^(λx)=0;
Т.к. e^(λx)≠0 для любого конечного λ, нули должны исходить от многочлена:
λ²+4λ+4=0;
(λ+2)²=0;
λ=-2   λ=-2;
Кратность корня  λ=-2 - это 2, делающее [tex]y_1=Ce^{-2x}[/tex], [tex]y_2=Ce^{-2x}x[/tex] в качестве решения, где C -произвольная константа.
Ответ: [tex]y=y_1+y_2=C_1e^{-2x}+C_2e^{-2x}x[/tex]