Кто-нибудь может дать полное решение:

х*2^x=8

1)Использовать теорему Вейерштрасса: если f(x) убывает на множестве Х, а g(x) возрастает на Х, то уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень.
х*2^x=8 преобразуем х≠0
2^x=8/x
f(x)=2^x 2>1  - возрастает
g(x)=8/x - убывает
следовательно на множестве Х уравнение имеет единственный корень: подбором находим х=2
2) Находим производную функции
y=x2^x
y`=x`*2^x+x(2^x)`=2^x+x2^xlnx  -производная не меняет знак на всей области определения (0,+00) ⇒ уравнение имеет один корень, х=2