Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0. Вероятность того, что попадание этой случайной величины на участок (− 1; 1) равна 0,5. Найти среднее квадратичное отклонение и написать выражение нормального закона.

Для случайной величины, распределенной нормально, вероятность отклонения от среднего выражается через функцию Лапласа:

[tex]P(|x-\mu|\ \textless \ \varepsilon \sigma)=2\Phi(\varepsilon)[/tex]

Из таблиц находим, что [tex]2\Phi(\varepsilon)=0.5[/tex] при [tex]\varepsilon\approx0.675[/tex]. По условию X распределена симметрично относительно нуля, [tex]\mu=0[/tex]. Значит, [tex]\sigma=1/0.675[/tex].

Подставляем найденные значения в функцию распределения:
[tex]f_{\mu,\sigma}(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)[/tex]
[tex]f(x)=\dfrac{0.675}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{(0.675x)^2}{2}\right) [/tex]