Решите уравнение
[tex](sin2x+cos2x)( \sqrt{3} + \sqrt{3tgx} )=0[/tex]

Произведение равно нулю, значит каждый множитель тоже приравниваем к нулю........ 
    [tex]\sin2x +\cos 2x=0|:\cos 2x\\ tg2x+1=0\\ tg2x=-1\\ \\ 2x=- \frac{\pi}{4}+\pi n,n \in \mathbb{Z} |:2\\ x=- \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} ,n \in \mathbb{Z} [/tex]

Тангенс положителен в 1 и 3 четвертях, значит уравнение будет иметь решение, если [tex]x=- \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(2k+1)}{2} =- \frac{\pi}{8} + \frac{2 \pi k+ \pi }{2} =- \frac{\pi}{8}+ \frac{\pi}{2} + \pi k=\boxed{ \frac{3\pi}{8} + \pi k,\, k\in \mathbb{Z}}[/tex]

[tex] \sqrt{3} + \sqrt{3tg x} =0|: \sqrt{3} \\ 1+ \sqrt{tg x} =0\\ \sqrt{tgx} =-1[/tex]
Это уравнение не имеет решение, так как левая часть уравнения принимает положительные значения, а правая - отрицательное значение