Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй 1/3 . Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна р1 второго — р2. Определить полную (среднюю) надежность р прибора, поступившего на производство.

Множество элементарных событий [tex]\Omega[/tex] - множество исходов эксперимента "взять наугад один прибор", событие A - множество исходов, при которых данный прибор является безотказно работающим.
Надежность прибора, поступившего на производство есть вероятность того, что взятый наудачу прибор окажется безотказно работающим.
Воспользуемся формулой полной вероятности:
[tex]\mathbb{P}(A)=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A|B_i)[/tex]
где [tex]\{B_i\}[/tex] - полная группа попарно несовместных событий
В качестве [tex]\{B_i\}[/tex] возьмем множество, состоящее из 2 событий.
[tex]B_1[/tex] - прибор изготовил первый завод
[tex]B_2[/tex] - прибор изготовил второй завод
Видно, что [tex]B_1[/tex] и [tex]B_2[/tex] - несовместны, вероятность каждого из них ненулевая, их объединение совпадает с множеством элементарных событий, а значит данное множество удовлетворяет условиям формулы полной вероятности. Тогда:
[tex]\mathbb{P}(A)={2\over3}p_1+{1\over3}p_2[/tex]