В слове ПРЕСЛЕДОВАТЬ ь выполняет сразу две роли. Какие?

Преследовать можно человека и преследовать цель (метафора)

Преследование - погоня

гонение
травля

Значение слова Преследование по словарю Ушакова:
ПРЕСЛЕДОВАНИЕ
преследования, ср. (книжн.). 1. (мн. редко). Действие по глаг. преследовать. Скрыться от преследования. Преследование врага. Возбудить против кого-н. судебное преследовние. Мания преследования. Женщины страшились его наглых преследований. Герцен. 2. Гонение, притеснение, мучение. Рабочий класс в фашистских странах подвергается жестоким преследованиям.

Значение слова Преследование по словарю Брокгауза и Ефрона:
Преследование (воен.) — движение войск вслед за противником, отступающим после проигранного боя; оно возлагается на кавалерию, к которой присоединяется конная артиллерия для обстреливания отступающих колонн; пехота с пешей артиллерией должны поддержать кавалерию, если противник остановится или перейдет в наступление. П. должно быть энергичным и решительным, чтобы окончательно расстроить разбитые войска противника, не дать им отдохнуть и вновь перейти в наступление.