Они садились на диван и по карте двигались к той части света, откуда была марка.
Надо опредилить падеж у имён сущестыительных.

На диван-(на что?) В.п.
По карте-( по чему?) Д. п.
К части-(к чему?) Д.п.
Света -(чего?) Р. п.
Марка-(что?) И. п.
Наверное так.