Подскажите, как мне написать? Мне нужно решить, подчеркивать как обстоятельство или дополнение?

Нашел (где?) на карте. ИЛИ нашел ( на чем?) на карте.

(И очень прошу, обоснуйте свой ответ)

В данном предложении НА КАРТЕ может выступать в роли дополнения (на чём?), можно , как Вы справедливо заметили, задать вопрос где? (вопрос обстоятельства). Здесь случай, когда дополнение имеет обстоятельственный оттенок. В школе определяют так: какой вопрос поставить удобнее, таким и будет этот член предложения.
   На мой взгляд, НА КАРТЕ больше имеет объектное значение: на чём? не нашёл. Лучше подчеркнуть как дополнение.