какой падеж имеет слово полдороги.

Это зависит от контекста, задавай вопрос, если у тебя именно "полдороги", то это Именительные падеж. И на будущее, никогда не говори " какой падеж имеет", правильней будет " в каком падеже". 

И. п не имеет предлога, Р. п имеет предлоги такие как: без, у, от, до, для, из, около, возле, с, вокруг, после, между. Д. п. имеет предлога два это к и по В. п имеет предлоги такие: через, про, в, во, на, за, под, сквозь, по. Т. п. имеет предлоги вот-такие: над, за, под, перед, с, со, между. П п употребляется с любыми предлогами