Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: y= - x^2 + 3х+4 и y=х + 1
Обязательно нужен график

Графиком функции f(x)=y=-x²+3x+4 является парабола, ветви направлены вниз
  m=-b/2a = -3/(2*(-1)) = 3/2 = 1.5
  y = -1.5² + 3*1.5 + 4 = 6.25

(1.5; 6.25) - координаты вершины параболы.

g(x)=y=x+1 - прямая, которая проходит через точки (-1;0), (0;1)

Поскольку f(x)>g(x), то площадь ограниченной линиями равна:

[tex]S=\displaystyle \int ^3_{-1}(-x^2+3x+4-(x+1))dx=\int ^3_{-1}(-x^2+2x+3)dx=\\ \\ \\ =\bigg(- \frac{x^3}{3} +x^2+3x\bigg)\bigg|^3_{-1}=-9+9+9- \frac{1}{3}-1+3= \frac{32}{3} [/tex]

Найдем точки пересечения график. Они же и будут являться пределами интегрирования
[tex]-x^2+3x+4=x+1 \\ \\ x^2-2x-3=0[/tex]

Корни уравнения
[tex] x_{1} = -1; \ x_{2} = 3 [/tex]

Искомая площадь S может быть вычислена с применением определенного интеграла и равна разности площадей фигур, ограниченных линиями [tex]y=-x^2+3x+4[/tex] и линией [tex]y=x+1 [/tex]

[tex]S = \int\limits^3_{-1} {(-x^2+3x+4)} \, dx - \int\limits^3_{-1} {(x+1)} \, dx =[/tex]

[tex]= - \frac{x^3}{3}|^3_{-1} + \frac{3x^2}{2}|^3_{-1}+4x|^3_{-1} - \frac{x^2}{2}|^3_{-1}-x|^3_{-1} =[/tex]

[tex]= -9 - \frac{1}{3} + \frac{27}{2}- \frac{3}{2} +12 + 4 - \frac{9}{2}+ \frac{1}{2}-3-1= [/tex]

[tex]= 3- \frac{1}{3} + 12 -4 = 11- \frac{1}{3} = 10 \frac{2}{3} = \frac{32}{3} \approx 10,6667 [/tex] кв. ед.

Ответе: [tex]S = 10 \frac{2}{3} = \frac{32}{3} \approx 10,6667 [/tex] кв. ед.