Задача на оптимизацию.
Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем призмы будет наибольшим?

Пусть длина нашего основания равна [tex]a[/tex] , боковое ребро равна [tex]h[/tex] . 
Тогда по условию [tex]V_{max}=a^2*h\\ h^2+a^2=d^2\\\\ V_{max}=(d^2-h^2)h\\ [/tex]
Рассмотрим функцию [tex]f(V)=V_{max}[/tex] 
[tex]f'(h)=(d^2-h^2)*h=d^2-3h^2\\ f'(h)=0\\ d^2=3h^2\\ h=\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}d}{3}>0\\ d=\frac{3h}{\sqrt{3}}[/tex] 
ответ при [tex]d=\frac{3h}{\sqrt{3}}[/tex]