при каком значении р уравнение имеет один корень: х^2 -2рх+3р=0

ни когда! т.к. ты пользуешся обратной теоремы виетой

x² -2px +3p =0
уравнение имеет один корень, если  дискриминант =0.
D/4 =p² -3p =0 ;
p(p-3) =0 ;
p = 0 или р=3 .
* * * * * *  * проверка  * * * * * *  *
p =0⇒x²=0⇒x=0.
p =3⇒x² -6x +9 =0⇔(x-3)²=0⇒x=3.