y=1/2(|x/2-2/x|+x/2+2/x) постройте график функции
Определите при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку

[tex]y=\dfrac{1}{2}\Big(\Big|\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}\Big|+\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}\Big)=\dfrac{1}{2}\Big(\Big|\dfrac{x^2-4}{2x}\Big|+\dfrac{x^2+4}{2x}\Big)[/tex]

Область определения функции: x≠0;   D(y) = (-∞; 0)∪(0; +∞)

Раскрываем модуль

[tex]1)~~~\dfrac{x^2-4}{2x}\geq 0~~\Leftrightarrow~~\dfrac{(x-2)(x+2)}{2x}\geq 0[/tex]

Метод интервалов

---------- [-2] ++++++++ (0) ----------- [2] ++++++++ -> x

x ∈ [-2; 0) ∪ [2; +∞)

[tex]y=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{x^2-4}{2x}+\dfrac{x^2+4}{2x}\Big)=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{2x^2}{2x}\Big)=\dfrac{1}{2}x[/tex]

y = 0,5 x  - линейная функция, график - прямая линия. Точки для построения

x₁ = 2;  y₁ = 1;    x₂ = -2;  y₂ = -1

[tex]2)~~~\dfrac{x^2-4}{2x}<0~~\Leftrightarrow~~\dfrac{(x-2)(x+2)}{2x}<0[/tex]

Метод интервалов

---------- (-2) ++++++++ (0) ----------- (2) ++++++++ -> x

x ∈ (-∞;-2) ∪ (0; 2)

[tex]y=\dfrac{1}{2}\Big(-\dfrac{x^2-4}{2x}+\dfrac{x^2+4}{2x}\Big)=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{8}{2x}\Big)=\dfrac{2}{x}[/tex]

y = 2/x   - гипербола. Точки для построения

x₁ = -4; y₁ = -0,5;    x₂ = -3; y₂ = -2/3;    x₃ = 1/2; y₃ = 4;   x₄ = 1; y₄ = 2

Прямая  y=m  имеет одну точку пересечения при  m = 1  и  m = -1