В треугольнике ABC (для простоты давайте будем считать его остроугольным) проведены высоты AA', BB', CC', пересекающиеся в точке H. Доказать, что

[tex]\frac{BH}{HB'}=\frac{\cos B}{\cos A\cdot \cos C}[/tex]

при пересечении высот получается множество пар подобных прямоугольных треугольников (по двум углам --вертикальным или общим в дополнение к прямому углу), остается только выбрать удобную пару...
(и можно не упрощать, а аналогично рассмотреть тупоугольный треугольник)))

Решение смотри в файле