В треугольнике ABC со сторонами AB=12, BC=11, AC=14 из вершины В опущены перпендикуляры BD и BE на биссектрисы углов BAC и BCA соответственно. Найдите длину отрезка DE.

Положим что биссектриса проведенная к стороне [tex]BC=x\\ [/tex] , [tex]CG=y[/tex] . Углы  [tex]BAC, BCA[/tex] [tex]2a,2b[/tex] соответственно. Используя теорему косинусов найдем углы [tex]a,b[/tex] 
[tex]12^2=11^2+14^2-2*11*14*cos2b\\ 11^2=12^2+14^2-2*12*14*cos2a\\\\ b=\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2} \\ a=\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2}\\\\ [/tex] 
Найдем [tex]BE;BD[/tex] 
 
[tex]S_{BGC} = \frac{11y*sin(\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2} ) }{2}}=\frac{BE*y}{2}\\ BE=11*sin(\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2})\\ BD=12*sin(\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2})\\\\ EBD=\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2}+\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2}\\\\ [/tex] 
 
По теореме косинусов   [tex]ED^2=BD^2+BE^2-2BD*BE*cosEBD\\ [/tex] 
подставляя найденные значения получим 
 [tex]ED=\frac{9}{2}[/tex]