Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы BB1C1 и BCC1 равны

Докажем, что точки В, С, В1, С1 лежат на одной окружности. 
Опишем окружность вокруг треугольника ВВ1С.
Рассмотрим угол ВС1С: 
угол опирается на диаметр окружности и при этом является прямым, тк СС1 - высота ⇒ вершина угла - В1 - также лежит на окружности
Углы ВВ1С1 и ВСС1 опираются на одну и ту же дугу окружности ⇒ они равны. 
ч.т.д.