В прямоугольном  треугольнике  провели  высоту  из прямого   угла,эта  высота разбила гипотенузу на  2 отрезка,докажите  что  отношение   кубов  этих отрезков  равно отношению квадратов  их проекций  на   катеты:  x1^3/x2^3=x1'^2/x2'^2

Пусть дан прямоугольный треугольник [tex]ABC[/tex] , с прямым углом [tex]C=90а[/tex]
Обозначим [tex]AC=a\\ BC=b\\ [/tex] [tex]AB=\sqrt{a^2+b^2}[/tex].   
Проведем высоту [tex]CH[/tex] , опустим из точки [tex]H[/tex] перпендикуляры [tex]HA_{1};HB_{1}[/tex] , на [tex]a;b[/tex]  соответственно. 
Тогда высота [tex]CH=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]. 
Найдем [tex]x_{1};x_{2}[/tex] 
 Из прямоугольных треугольников образовавшиеся при проведении высоты [tex]CH[/tex], по теореме Пифагора    получим 
[tex]x_{1}=\sqrt{a^2-(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}})^2}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ x_{2}=\sqrt{b^2-(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}})^2}=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[/tex] 
Найдем  [tex]x'_{1};x'_{2}[/tex]  
Так же [tex]A_{1}H;B_{1}H[/tex] высоты меньших прямоугольных треугольников  
[tex]A_{1}H=\frac{\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}*\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}{a}=\frac{a^2b}{a^2+b^2}\\ B_{1}H=\frac{\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}*\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}{b}=\frac{b^2a}{a^2+b^2}\\\\\\ x_{1}'=\sqrt{\frac{a^4}{a^2+b^2}-\frac{a^4b^2}{(a^2+b^2)^2}}=\frac{a^3}{a^2+b^2}\\ x_{2}'=\sqrt{\frac{b^4}{a^2+b^2}-\frac{b^4a^2}{(a^2+b^2)^2}}=\frac{b^3}{a^2+b^2}\\\\ \frac{x_{1}^3}{x_{2}^3}=\frac{a^6}{b^6}\\\\ \frac{x_{1}'^3}{x_{2}'^3}=\frac{a^6}{b^6}[/tex]