Две окружности радиусов 3 и 12 внешне касаются в точке К.
Обе окружности касаются одной прямой: большая – в точке А, меньшая
– в точке В. Прямая АК пересекает меньшую окружность в точке С,
прямая ВК пересекает большую окружность в точке D. Найти площадь
четырехугольника АВСD.

   Впишем наши окружности , в  ось [tex]OXY[/tex] , так , что точка [tex] A(0;0)[/tex] , точка  [tex]B[/tex]  очевидно будет иметь координаты , равными [tex] x= \sqrt{(3+12)^2-(12-3)^2} = 12 , то есть [/tex] [tex]B(12;0)[/tex] 
Опишем уравнения окружности , и решим систему 
[tex] \left \{ {{ (x-12)^2 + (y-3)^2 = 3^2 } \atop { x^2+(y-12)^2=12^2}} \right. [/tex] 
Решениями системы, [tex] x= \frac{48}{5} ; y = \frac{24}{5}[/tex] то есть координаты [tex] K( \frac{48}{5}; \frac{24}{5} )[/tex]. 
Найдем координаты , точек [tex]C;D[/tex] 
Уравнения прямой [tex]AС\\ 3x+4y=48\\ [/tex] 
 уравнения прямой другой [tex] 2x+y=24[/tex]  
Решая их с полученными , уравнениями окружности         
[tex](x-12)^2 + (y-3)^2 = 3^2 } \atop { 3x+4y=48 } [/tex]                          
[tex] C(\frac{72}{5}: \frac{6}{5})[/tex]     
[tex] x^2+(y-12)^2=12^2\\ 2x+y=24 \\ [/tex] 
[tex] D(0;24)[/tex]       
То есть [tex] AD[/tex] диаметр окружности  
[tex]BC = \frac{6\sqrt{5}}{5}[/tex] 
[tex] CD = \frac{6\sqrt{505}}{5}[/tex]      
[tex] BD = \sqrt{12^2+24^2 } = 12\sqrt{5}[/tex]    
 Откуда  [tex] S_{BCD} = 36[/tex] 
 
 Значит [tex] S_{ABCD} = 36+S_{ABD} = \frac{24*12}{2}+36 = 180[/tex]