Катя и Женя подошли к квадратному пруду, в середине которого находится квадратный остров.На берегу они нашли две доски чуть-чуть короче ширины пролива между берегом пруда и острова.Как им все-таки попасть на остров, используя эти доски?
Ответ
Пример решение задачи смотри в первом приложении.
Доказательство того, что длины доски всё-таки хватит (для 8го класса), находится ниже.
См. приложение №2.
Берега острова и пруда параллельны, остров находится по середине пруда, поэтому ABCD - четырёхугольник с равными сторонами (AB=BC=CD=AD) и прямым углом (∠ABC=90°). Значит, ABCD - квадрат.
Доски (MN, DP) были расположены таким образом, что BM=BN и DP⊥MN (минимальное расстояние от точки до прямой это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую).
1.
ΔMBN - равнобедренный (BM=BN) и прямоугольный (∠MBN=90°), поэтому ∠BMN=45°;
ΔABC - равнобедренный (BA=BC) и прямоугольный (∠ABC=90°), поэтому ∠BAC=45°;
AC║MN т.к. соответственные углы, при пересечении прямых AC и MN секущей AM, равны (∠BMN=45°=∠BAC);
- Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу.
Поэтому DB⊥AC ⇒ DB⊥MN и DP⊥MN, поэтому прямые DB и DP совпадают. Значит, P∈DB.
2.
Пусть DP=d и AD=r, тогда по условию d<r.
DP=MN (для удобства доски равны) ⇒ MN=d
Медиана проведённая из прямого угла треугольника равна половине гипотенузы.
Поэтому PB = MN:2 = d:2
DB = DP+PB = [tex]d+\dfrac d2 =\dfrac{3d}2[/tex]
С другой стороны DB = AD·√2, как диагональ квадрата ABCD;
DB = r√2.
Длины досок хватит, если [tex]\dfrac{3d}2 \ge r\sqrt2[/tex];
[tex]\dfrac{3d}2 \ge r\sqrt2\quad \Rightarrow \quad d\ge \dfrac{2\sqrt2}{3} r;\\\\1,\! 4<\sqrt2 <1,\! 5 \Rightarrow \dfrac{2,\! 8}{3} <\dfrac{2\sqrt2 }{3} <\dfrac{3}3 =1[/tex]
Коэффициент [tex]\left( \dfrac{2\sqrt2 }3 \right)[/tex] при r меньше единицы, поэтому d должно быть не меньше, чем число, которое чуть меньше r.
По условию d<r. Значит, длины хватит, что и требовалось доказать.
*Если округлить, то длина доски должна составлять хотя бы 95% от ширины пролива.