Высоты треугольника равны m,n и p.Найдите радиус вписанной окружности.

 пусть стороны треугольника равны [tex]a;b;c[/tex]  опущенные к ним высота соответственно равны [tex]m;p;n[/tex].
 Так как  площадь треугольника можно вычислить  
[tex]cn=2pr\\ am=2pr\\ bp=2pr[/tex] 
 откуда 
[tex]c=\frac{2pr}{n}\\ a=\frac{2pr}{m}\\ b=\frac{2pr}{p} [/tex]
 то полупериметр  
 [tex]p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2pr(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p})}{2}\\ r(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p})=1\\ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p}=\frac{1}{r}[/tex]
  откуда радиус 
 [tex]r=\frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p}}=\frac{mnp}{mn+mp+np}[/tex]