1.Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке О, ∠MON=64 градуса. Найдите угол ОМР.
2.Найдите углы равнобокой трапеции, если один из ее углов на 30 градусов больше второго.
3.Стороны параллелограмма относятся как 3:1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма.
4.В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равно 48 градусов. Найдите углы трапеции.
Ответ
№1.
Дано :
Четырёхугольник MNKP - прямоугольник.
Отрезки MK и NP - диагонали.
Точка О - точка пересечения диагоналей.
∠MON = 64°.
Найти :
∠ОМР = ?
Решение :
- Диагонали прямоугольника равны между собой и, по свойству параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам.
Отсюда имеем, что -
[tex]MO=KO=NO=PO.[/tex]
Рассмотрим ΔМОР - равнобедренный (так как равны две стороны).
Причём МО и ОР - боковые стороны.
- Углы у основания равнобедренного треугольника равны (они-то как раз и лежат против боковых сторон).
Поэтому -
∠ОМР = ∠ОРМ.
∠NOM - внешний для ΔМОР.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Отсюда -
∠NOM = ∠ОМР + ∠ОРМ
∠ОМР + ∠ОРМ = 64°
Учитывая равенство углов -
∠ОМР = 64° : 2 = 32°.
Ответ :
32°.
№2.
Дано :
Четырёхугольник ABCD - равнобокая (равнобедренная) трапеция.
Один из углов больше другого на 30°.
Найти :
∠А = ?
∠В = ?
∠С = ?
∠D = ?
Решение :
Про какие именно углы идёт речь в задаче?
Дело в том, что -
- Углы у основания равнобедренной трапеции равны (на рисунке выделены дугами).
Отсюда -
∠D не может быть больше ∠С на 30°, потому что они равны.
Аналогично и с ∠А и ∠В.
Возьмём ∠D за х, тогда остаётся что ∠А = х+30°.
- Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна 360°.
Составляем уравнение и решаем его -
∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 360°
(х + 30°) + (х + 30°) + х + х = 360°
4х + 60° = 360°
4х = 300°
х = 75°.
∠А = х + 30° = 75° + 30° = 105°
∠В = х + 30° = 75° + 30° = 105°
∠С = х = 75°
∠D = х = 75°.
Ответ :
105°, 105°, 75°, 75°.
№3.
Дано :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Стороны АВ и ВС - смежные.
ВС : АВ = 3 : 1.
Р(ABCD) = 40 см.
Найти :
АВ = ?
ВС = ?
CD = ?
AD = ?
Решение :
Пусть АВ = х, тогда ВС = 3х.
- Периметр параллелограмма равен удвоенно сумме его смежных сторон.
Отсюда -
Р(ABCD) = 2*(АВ + ВС)
40 см = 2*(х + 3х)
х + 3х = 20 см
4х = 20 см
х = 5 см.
АВ = х = 5 см
ВС = 3х = 3*5 см = 15 см.
- Противоположные стороны параллелограмма равны.
Отсюда -
АВ = CD = 5 см
ВС = AD = 15 см.
Ответ :
5 см, 15 см, 5 см, 15 см.
№4.
Дано :
Четырёхугольник ABCD - прямоугольная трапеция.
Разность двух углов, прилежащих к боковой стороне = 48°.
Найти :
∠А = ?
∠В = ?
∠С = ?
∠D = ?
Решение :
∠А = ∠В = 90° (по определению прямоугольной трапеции).
Подмечу, что они действительно "прилегают" к боковой стороне. Но их разность не может быть равна 48°, так как они равны (90° - 90° = 0).
Поэтому, углы которые "прилегают" к боковой стороне CD точно должны давать в разности 48°.
Пусть ∠С = х (больший угол), а ∠D = у (меньший угол).
- Сумма двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
Составим систему и решим её -
1)
[tex]\left \{ {x+ y= 180{^\circ}} \atop {x-y=48{^\circ}}} \right. \\\\x+y+x-y= 180{^\circ}+ 48{^\circ}\\\\2x= 228{^\circ}\\\\x= 114{^\circ}\\ \\[/tex]
2)
[tex]x+y= 180{^\circ}\\\\y= 180{^\circ}-x\\\\y= 180{^\circ}-114{^\circ}\\\\y =66{^\circ}[/tex]
∠C = x = 114°
∠D = y = 66°.
Ответ :
90°, 90°, 114°, 66°.