Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Даны координаты вершин треугольника
ABC.
Найти:
a) уравнения медианы, проведенной из вершин A
b) Уравнение высоты проведенной из вершины B
d) площадь треугольника ABC
t) расстояние от точки A до прямой BC
g) угол между прямыми AC и AB.
Cделать рисунок.
A(4;7) ; B (-4 ; 1); C (1;3)

1) Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
[tex]x_m= \frac{x_b+x_c}{2} = \frac{-4+1}{2}=- \frac{3}{2} [/tex]
[tex]y_m= \frac{y_b+y_c}{2}= \frac{1+3}{2} =2[/tex]
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(4;7) и М(-3/2;2), поэтому:
[tex] \frac{x-4}{-3/2-4} = \frac{y-7}{2-7} [/tex]
или
[tex]y=10/11x+37/11[/tex]

2)Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
[tex] \frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} [/tex]
Найдем уравнение высоты через вершину B
[tex]\frac{x-(-4)}{-4} = \frac{y-1}{3}[/tex]
[tex]y=-3/4x-2[/tex]

3) Пусть 3 точки - вершины треугольника, тогда площадь выражается формулой:
[tex]S= \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}x_1-x_3&y_1-y_3\\x_2-x_3&y_2-y_3\\\end{array}\right] [/tex]
Принимая А за 1-ую вершину найдем определитель данной матрицы
[tex]S= \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}3&4\\-5&-2\\\end{array}\right]=\frac{1}{2}*14=7[/tex]
4) Расстояние от точки до прямой считается так:
[tex] \frac{|A*M_x+B*M_y+C|}{ \sqrt{A^2+B^2} } [/tex]
В числителе находятся коэффициенты уравнения прямой BC, которое выглядит так:
[tex] \frac{x+4}{5} = \frac{y-1}{2}; 5y-2x-13=0 [/tex]
нужно найти расстояние из точки А, ее и подставим вместо точки М
[tex]\frac{|-2*4+5*7-13|}{ \sqrt{4^2+7^2} }= \frac{14}{ \sqrt{65} } [/tex]
5) уравнение прямой АС: [tex]-4x+3y-5=0[/tex]
уравнение прямой AB: [tex]-3x+4y-16=0[/tex]
угол находится так:
[tex]cos x= \frac{A_1A_2+B_1 B_2}{ \sqrt{A^2_1+B^2_1} \sqrt{A_2^2+B_2^2} } [/tex]
[tex]A_1=-4;A_2=-3;B_1=3;B_2=4[/tex]
[tex]cos x=\frac{4*-3+3*4}{ \sqrt{A^2_1+B^2_1} \sqrt{A_2^2+B_2^2} } =0[/tex]
Даже знаменатель можно не расписывать, раз в числителе получился 0, то угол = 90 градусов или [tex] \pi /2[/tex]