Решите уравнение в целых числах 5x-8y=19

рассуждаем так:

5x = 19+8y, значит 19+8y должно заканчиваться на 0 или 5  ( по признаку деления на 5), значит 8y должно заканчиваться на 1 или 6 ( чтобы в сумме с 19 заканчивалось на 0 или5). При умножении на 8 число не может оканчиваться на 1, поэтому остаётся 6. Подходят числа 2 (8*2 = 16) или 7 (8*7=56) или любые числа , оканчивающиеся на 2 и 7 - например, 12,17,22,27,32,37  и т.д. Это мы нашли возможные значения y, для каждого можно посчитать х - например, при y=12 х=23 и т.п... Ответов бесконечное множество.