[tex] A > a > \frac{1}{|A|} \ ; [/tex]

[tex] B > b > 1 \ ; [/tex]


с р а в н и т ь :

[tex] A + \frac{1}{AB} + B \ \ \ \ \ \ ? \ \ \ \ \ \ a + \frac{1}{ab} + b \ \ . [/tex]


*** задачу необходимо решить без (!) использования частных производных, средствами алгебры и анализа 9 класса школы.




!!!! Внимание !!!! Аккаунты пользователей, публикующих "спам" или "ответы не в тему" в моих заданиях – подвергаются жёсткой проверке, чистке, и, в конечном счёте, я стараюсь добиваться удаления таких аккаунтов.

Прошу никого не беспокоиться. Спамом традиционно считаются ответы типа "ааааа" или "фывлдорп" и т.п. "Ответами не в тему" традиционно считаются копипасты из других задач по математике или другим предметам и т.п. Думающего человека никогда не спутаешь со спамером.

Так что все творческие люди – Welcome!

Дано:

[tex]A \ \textgreater \ a \ \textgreater \ \frac{1}{A} \ \textgreater \ 0\\\\ B\ \textgreater \ b\ \textgreater \ 1 [/tex]

Доказать:

[tex]A+ \frac{1}{AB}+B\ \textgreater \ a+ \frac{1}{ab} +b [/tex]


Доказательство:

[tex]1) \ A-a\ \textgreater \ \frac{A-a}{Aab} [/tex], т.к.  [tex] \left \{ {{Aa\ \textgreater \ 1} \atop {b\ \textgreater \ 1}} \right. [/tex]

[tex]A-a\ \textgreater \ \frac{1}{ab}- \frac{1}{Ab}\\\\ (*)\ \ \boxed {A+ \frac{1}{Ab} \ \textgreater \ a+ \frac{1}{ab}} [/tex]


[tex]A + \frac{1}{Ab} + b \ \textgreater \ a + \frac{1}{ab} + b [/tex]

[tex]2) \ B-b\ \textgreater \ \frac{B-b}{\underbrace{ABb}} \Longleftarrow \left\{\begin{matrix} A &\ \textgreater \ &1 \\ B &\ \textgreater \ &1 \\ b &\ \textgreater \ &1 \end{matrix}\right.\\\\ B-b\ \textgreater \ \frac{1}{Ab}- \frac{1}{AB} \\\\ (**) \ \ \boxed {B+ \frac{1}{AB}\ \textgreater \ b+ \frac{1}{Ab} } [/tex]


К [tex](**)[/tex]  добавим в обе части А:

[tex]A+(B+ \frac{1}{AB})\ \textgreater \ A+(b+ \frac{1}{Ab} )>a+\frac{1}{ab}+b [/tex]

[tex]\boxed {A+B+ \frac{1}{AB} \ \textgreater \ a+b+ \frac{1}{ab} }[/tex]

[tex] \ [/tex]
[tex] A > 0 \ , [/tex]    причём    [tex] A > \frac{1}{A} \ ; \ \Rightarrow \ \ A^2 > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ A > 1 \ ; [/tex]
[tex] \ [/tex]
[tex] A > a > \frac{1}{A} > 0 \ ; \ \Rightarrow \ \ Aa > 1 \ ; [/tex]
[tex] \ [/tex]
[tex] B > 0 \ , [/tex]    причём    [tex] B > b > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ Bb > 1 \ ; [/tex]
[tex] \ [/tex]
[tex] \ [/tex]
Рассмотрим три выражения:
[tex] \ [/tex]
[tex] Grand: \ \ \ \ \ G = A + \frac{1}{AB} + B \ ; [/tex]
[tex] \ [/tex]
[tex] Middle: \ \ \ \ \ M = A + \frac{1}{Ab} + b \ [/tex]    и:
[tex] \ [/tex]
[tex] Small: \ \ \ \ \ S = a + \frac{1}{ab} + b \ ; [/tex]
[tex] \ [/tex]
[tex] \ [/tex]
Рассмотрим разность    [tex] D = G - M \ : [/tex]
[tex] \ [/tex]
[tex] D = A + \frac{1}{AB} + B - ( A + \frac{1}{Ab} + b ) = \frac{1}{AB} + B - \frac{1}{Ab} - b = \\\\ = B - b + \frac{1}{AB} - \frac{1}{Ab} = B - b + \frac{b-B}{ABb} = ( B - b ) ( 1 - \frac{1}{ABb} ) > 0 \ , [/tex]
[tex] \ [/tex]
т.к.    [tex] B - b > 0 \ , \ \ A > 1 \ , [/tex]    и    [tex] Bb > 1 \ . [/tex]
[tex] \ [/tex]
Итак:    [tex] D > 0 \ ; \ \Rightarrow \ G - M > 0 \ ; \ \Rightarrow \ G > M \ ; [/tex]    [ ** 1 ** ]
[tex] \ [/tex]
[tex] \ [/tex]
Рассмотрим разность    [tex] d = M - S \ : [/tex]
[tex] \ [/tex]
[tex] d = A + \frac{1}{Ab} + b - ( a + \frac{1}{ab} + b ) = A + \frac{1}{Ab} - a - \frac{1}{ab} = \\\\ = A - a + \frac{1}{Ab} - \frac{1}{ab} = A - a + \frac{a-A}{Aab} = ( A - a ) ( 1 - \frac{1}{Aab} ) > 0 \ , [/tex]
[tex] \ [/tex]
т.к.    [tex] A - a > 0 \ , \ \ Aa > 1 \ [/tex]    и    [tex] b > 1 \ . [/tex]
[tex] \ [/tex]
Итак:    [tex] d > 0 \ ; \ \Rightarrow \ M - S > 0 \ ; \ \Rightarrow \ M > S \ ; [/tex]    [ ** 2 ** ]
[tex] \ [/tex]
[tex] \ [/tex]
[tex] G - S = G - M + M - S = D + d > 0 \ ; [/tex]
[tex] \ [/tex]
[tex] G - S > 0 \ ; [/tex]
[tex] \ [/tex]
[tex] G > S \ ; [/tex]
[tex] \ [/tex]
Что так же понятно и из сравнения выражений [ ** 1 ** ] и [ ** 2 ** ] :
[tex] \ [/tex]
[tex] G > M > S \ ; [/tex]
[tex] \ [/tex]
[tex] A + \frac{1}{AB} + B > a + \frac{1}{ab} + b \ , [/tex]
[tex] \ [/tex]
что и требовалось выяснить и доказать.
[tex] \ [/tex]
[tex] \ [/tex]