в зависимости от a определить количество корней уравнения:
x^3+6x^2-15x+3a=0

Может это можно сделать и проще, но вот как бы поступил я: определить экстремумы, типы экстремумов и соответственно начертить график.
Let [tex]f(a, x) = x^{3}+6x^{2}-15x+3a[/tex]
[tex]\frac{d}{dx}f(a,x) = 3x^{2}+12x-15[/tex]
[tex]\frac{d}{dx}f(a,x) = 0 <=> x^{2}+4x-5=0 <=>  \left[^{x=1}_{x=-5}[/tex]
[tex]f(a,1) = 3a-8[/tex]
[tex]f(a,-5) = 3a-50[/tex]
[tex]\frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a,x) = 6x + 12[/tex]
[tex]\frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a,1) = 18[/tex]
[tex]\frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a,-5) = -18[/tex]
Тогда x=1 - Минимум, а x=-5 - Максимум
Есть три варианта: либо 1 корень, либо 2, либо 3:
1 корень означает, что интервал [3a-50, 3a-8] не содержит 0, то есть
[tex]a \in (-\infty, \frac{8}{3}) \cup (\frac{50}{3}, \infty)[/tex]
2 корня:
[tex]a \in \{\frac{8}{3}\} \cup \{\frac{50}{3}\}[/tex]
3 корня:
[tex]a \in (\frac{8}{3}, \frac{50}{3})[/tex]