Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 10 и образует с плоскостью основания угол синус которого равен 0.8 найти высоту основания пирамиды
С чертежом если можно

ABCD - прав. треуг. пирамида. ОD - высота пирамиды, 
СН - высота основания АВС.
sin∠DCO=0,8
ΔDCO - прямоугольный, ∠DOC=90°  ⇒  DO=DC·sin∠DCO=10·0,8=8
CO=√(10²-8²)=6
CO=2/3·CH   ⇒   CH=3/2·CO=3/2·6=9

Пирамида правильная, значит в основании лежит правильный треугольник, а основание высоты пирамиды SO лежит в центре треугольника О. В правильном треугольнике высота его делится точкой О на отрезки в отношении 2:1, считая от вершины (по свойству медиан, а высота - это и медиана в правильном треугольнике).
В прямоугольном треугольнике АSO АО/АS=Cos(<SAO).
Синус этого угла нам дан. Найдем косинус. CosA=√(1-0,8²)=0,6.
Тогда АО=СosA*AS=0,6*10=6.  Это 2/3 искомой высоты. Искомая высота равна 6*3/2=9.
Ответ: высота основания пирамиды равна 9.